4716. На сторонах
BC
и
CD
квадрата
ABCD
взяты точки
E
и
F
, причём
\angle EAF=45^{\circ}
. Отрезки
AE
и
AF
пересекают диагональ
BD
в точках
P
и
Q
. Докажите, что
\frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle APQ}}=2
.
Указание. Докажите, что
EP
и
EQ
— высоты треугольника
AEF
.
Решение. Первый способ. Поскольку отрезок
PF
виден из точек
A
и
D
под углом
45^{\circ}
, то точки
A
,
P
,
F
и
D
лежат на одной окружности, а так как
\angle ADF=90^{\circ}
, то
AF
— диаметр этой окружности. Следовательно,
\angle APF=90^{\circ}
и
FP
— высота треугольника
AEF
. Аналогично
EQ
— высота треугольника
AEF
. Поэтому (см. задачу 19), треугольник
APQ
подобен треугольнику
AFE
с коэффициентом
\cos\angle EAF=\cos45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Следовательно (см. задачу 59),
\frac{S_{\triangle APQ}}{S_{\triangle AEF}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{1}{2}.

Второй способ. Пусть при повороте на угол
90^{\circ}
вокруг вершины
A
, переводящем вершину
D
в
B
, вершина
C
переходит в точку
C'
, а точка
F
— в точку
F'
. Тогда
BF'=DF
, точка
F'
лежит на отрезке
BC'
,
AF'=AF
и
\angle BAF'=\angle DAF
. Значит,
\angle EAF'=\angle EAB+\angle BAF'=\angle EAB+\angle DAF=90^{\circ}-\angle EAF=45^{\circ}.

Следовательно, треугольник
EAF'
равен треугольнику
EAF
по двум сторонам и углу между ними. Тогда высота
AL
треугольника
EAF
равна соответствующей ей высоте
AB
треугольника
EAF'
, т. е. стороне квадрата, луч
EA
— биссектриса угла
FEB
, а луч
FA
— биссектриса угла
DFL
.
Пусть диагональ
BD
пересекается с отрезками
AM
и
AN
в точках
P
и
Q
соответственно. Треугольники
PAQ
и
DQF
подобны по двум углам (
\angle PAQ=\angle FDQ=45^{\circ}
и
\angle AQP=\angle DQF
как вертикальные), поэтому
\angle APQ=\angle QFD=\angle AFE
. Значит, треугольники
APQ
и
AFE
тоже подобны по двум углам, причём коэффициент подобия равен отношению соответствующих высот, т. е.
k=\frac{AK}{AL}=\frac{\frac{AB\sqrt{2}}{2}}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Следовательно,
S_{\triangle APQ}=k^{2}S_{\triangle AFE}=\frac{1}{2}.

Что и требовалось доказать.
Автор: Готман Э. Г.
Источник: Журнал «Квант». — 1986, № 4, с. 31, М976; 2004, № 1, с. 13, М1895; 2004, № 4, с. 26, М1895
Источник: Задачник «Кванта». — М976; 2004, М1895, с. 13
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 2.55, с. 37
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2.58, с. 36