4761. Трапеции ABCD
и ACDE
с равными большими основаниями соответственно AD
и AC
вписаны в окружность. Чему равен радиус этой окружности, если площадь треугольника ADE
равна 1+\sqrt{3}
, а угол COD
равен 60^{\circ}
, где O
— точка пересечения диагоналей трапеции ABCD
?
Ответ. 2.
Указание. \angle COD=\frac{\cup CD+\cup AB}{2}
(см. задачу 26).
Решение. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. Поэтому \cup AB=\cup CD=\cup AE
. Поскольку хорды AC
и AD
равны, то
\cup AB+\cup BC=\cup AE+\cup ED.
Значит, \cup BC=\cup ED
.
Обозначим \cup AB=\alpha
, \cup BC=\beta
. Тогда
\angle COD=\frac{\cup CD+\cup AB}{2}=\alpha=60^{\circ},~2\beta=360^{\circ}-3\alpha=180^{\circ}.
Следовательно, \beta=90^{\circ}
. Поэтому
\angle ADE=\frac{1}{2}\cup AE=\frac{\alpha}{2}=30^{\circ},~\angle DAE=\frac{1}{2}\cup ED=\frac{\beta}{2}=45^{\circ}.
Пусть R
— искомый радиус. Тогда
S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}AE\cdot DE\sin\angle AED=\frac{1}{2}\cdot2R\sin30^{\circ}\cdot2R\sin45^{\circ}\cdot\sin75^{\circ}=\frac{R^{2}(\sqrt{3}+1)}{4}=\sqrt{3}+1.
Следовательно, R^{2}=4
.
Примечание. Можно воспользоваться формулой для площади треугольника по радиусу описанной окружности и синусам трёх углов (см. задачу 4258).
Источник: Вступительный экзамен на факультет психологии МГУ. — 1992, № 3, вариант 2