4822. Пусть I
— центр вписанной окружности радиуса r
треугольника ABC
, I_{a}
— центр вневписанной окружности радиуса r_{a}
, касающейся стороны BC=a
, а радиус описанной окружности треугольника равен R
. Докажите, что
II_{a}^{2}=4R(r_{a}-r).
Решение. Первый способ. Пусть M
и N
— точки касания соответственно вписанной и вневписанной окружностей со стороной AC
, IK
— перпендикуляр, опущенный из точки I
на радиус I_{a}N
вневписанной окружности, а \angle BAC=\alpha
. Тогда MN=BC=a
(см. задачу 4805),
\angle KII_{a}=\angle MAI=\frac{\alpha}{2},~I_{a}K=I_{a}N-KN=I_{a}N-IM=r_{a}-r,~IK=MN=a.
Из прямоугольного треугольника IKI_{a}
получаем, что
II_{a}=\frac{r_{a}-r}{\sin\frac{\alpha}{2}},~II_{a}=\frac{a}{\cos\frac{\alpha}{2}}.
а по теореме синусов \frac{a}{\sin\alpha}=2R
. Следовательно,
II_{a}^{2}=II_{a}\cdot II_{a}=\frac{r_{a}-r}{\sin\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{a}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{2a}{\sin\alpha}\cdot(r_{a}-r)=4R(r_{a}-r).
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть полупериметр треугольника равен p
, AC=b
, AB=c
, E
и F
— точки касания со стороной BC
вписанной и вневписанной окружностей соответственно, M
— точка касания вписанной окружности со стороной AC
, N
— точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны AC
, K
— проекция точки I
на прямую I_{a}N
. Тогда
CM=p-AB=p-c,~CN=AN-AC=p-AC=p-b
(см. задачу 219),
MN=CM+CN=p-a+p-b=2p-a-b=c.
Обозначим, \angle BAC=\alpha
. В прямоугольном треугольнике IKI_{a}
известно, что
IK=MN=a,~KI_{a}=I_{a}N-KN=I_{a}N-IM=r_{a}-r,~\angle KII_{a}=\angle NAI_{a}=\frac{\alpha}{2}.
По теореме синусов \frac{a}{\sin\alpha}=2R
. Следовательно,
II_{a}^{2}=\left(\frac{KI}{\cos\frac{\alpha}{2}}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{a^{2}\sin\alpha}{\sin\alpha\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{2a^{2}\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=
=2\cdot\frac{a^{2}\tg\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}=2\cdot\frac{a}{\sin\alpha}\cdot a\cdot\tg\frac{\alpha}{2}=4R\cdot a\cdot\frac{KI_{a}}{a}=4R(r_{a}-r).
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью И.Ф.Шарыгина «Вокруг биссектрисы», Квант, 1983, N8, с.32-36.