4889. Прямая, проходящая через середину диагонали BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
параллельно диагонали AC
, пересекает сторону AD
в точке T
. Докажите, что прямая CT
делит четырёхугольник ABCD
на две части равной площади.
Указание. Соедините середину M
диагонали BD
с вершинами A
и C
. Четырёхугольники ABCM
и ADCM
равновелики.
Решение. Соединим середину M
диагонали BD
с вершинами A
и C
. Пусть диагонали трапеции ATMC
пересекаются в точке O
. Тогда треугольники AOT
и COM
равновелики (см. задачу 3017), поэтому четырёхугольник ABCT
равновелик четырёхугольнику ABCM
.
Отрезки AM
и CM
— медианы треугольников ABD
и ABC
, поэтому треугольник ADM
равновелик треугольнику ABM
, а треугольник DCM
— треугольнику BCM
(см. задачу 3001). Значит, четырёхугольник ABCM
равновелик четырёхугольнику AMCD
, и площадь четырёхугольника ABCM
вдвое меньше площади исходного четырёхугольника ABCD
. Тогда и площадь четырёхугольника ABCT
вдвое меньше площади ABCD
. Следовательно, четырёхугольник ABCT
равновелик треугольнику CDT
. Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — с. 93