4936. Пусть I
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Обозначим через K
, L
, M
точки, в которых эта окружность касается сторон BC
, AC
, AB
соответственно. Прямая, проведённая через точку B
параллельно прямой KM
, пересекает прямые LM
и KL
в точках R
и S
соответственно. Докажите, что угол RIS
острый.
Указание. Докажите, что BK^{2}=BR\cdot BS
и отложите на отрезке BI
отрезок BP=BK
.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой и параллельности прямых RS
и MK
следует, что
\angle BRM=\angle AML=\angle MKL=\angle BSK.
Аналогично \angle BKS=\angle BRM
. Треугольники BKS
и BRM
подобны по двум углам, поэтому
\frac{BR}{BK}=\frac{BM}{BS}=\frac{BK}{BS},
откуда BR\cdot BS=BK^{2}
.
Катет BK
прямоугольного треугольника BKI
меньше его гипотенузы BI
, поэтому на отрезке BI
найдётся точка P
, для которой BP=BK
. При этом BP^{2}=BK^{2}=BR\cdot BS
. Кроме того, точка B
лежит на отрезке RS
и PB
— высота треугольника RPS
, так как RS\parallel MK
, а BP\perp MK
. Значит, треугольник RPS
прямоугольный с прямым углом при вершине P
(см. замечание к задаче 2728).
Точка P
лежит внутри треугольника RIS
, следовательно,
\angle RIS\lt\angle RPS=90^{\circ}
(см. задачу 3524). Что и требовалось доказать.
Источник: Международная математическая олимпиада. — 1998, XXXIX
Источник: Агаханов Н. Х., Кожевников П. А., Терёшин Д. А. Математика. Международные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — , № 98.5, с. 35