4942. Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника со сторонами a
, b
, c
и полупериметром p
. Докажите, что
\frac{4}{3}p^{2}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant9R^{2}.
Указание. Воспользуйтесь равенством a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{4}{3}(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2})
(см. задачу 4047) и неравенством m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\leqslant\frac{27R^{2}}{4}
(см. задачу 3233).
Решение. Из неравенства ab+ac+bc\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}
следует, что
4p^{2}=(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+bc)\leqslant
\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})=3(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Значит, a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant\frac{4}{3}p^{2}
.
Из равенства a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{4}{3}(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2})
(см. задачу 4047) и неравенства m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\leqslant\frac{27R^{2}}{4}
(см. задачу 3233) следует, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{4}{3}(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2})\leqslant\frac{4}{3}\cdot\frac{27R^{2}}{4}=9R^{2}.