5015. E
, F
, G
— точки касания вписанной в треугольник ABC
окружности и сторон AB
, BC
и AC
соответственно; O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— центры вневписанных окружностей, касающихся сторон соответственно AB
, BC
и AC
. Докажите, что прямые O_{1}E
, O_{2}F
и O_{3}G
проходят через одну точку.
Указание. Докажите, что стороны треугольника EFG
соответственно параллельны сторонам треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
.
Решение. Точка B
лежит на отрезке O_{1}O_{2}
, так как лучи BO_{1}
и BO_{2}
— биссектрисы вертикальных углов. Поскольку BE=BF
, треугольник EBF
равнобедренный, значит, биссектриса BO_{2}
его внешнего угла при вершине B
параллельна основанию EF
(см. задачу 1174). Следовательно, сторона EF
треугольника EFG
параллельна стороне O_{1}O_{2}
треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
. Аналогично EG\parallel O_{1}O_{3}
и FG\parallel O_{2}O_{3}
.
Стороны треугольника EFG
соответственно параллельны сторонам треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
, значит, эти треугольники гомотетичны (см. задачу 5000). Следовательно, прямые O_{1}E
, O_{2}F
и O_{3}G
проходят через центр гомотетии.