5037. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по основаниям двух его биссектрис и прямой, на которой лежит третья биссектриса.
Указание. Биссектриса есть ось симметрии угла.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть M
и N
— основания его биссектрис AM
и BN
, биссектриса CK
лежит на данной прямой l
, Q
— точка пересечения биссектрис. Тогда точка N_{1}
, симметричная точке N
относительно прямой l
, лежит на прямой BC
, а \angle NQM=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C
(см. задачу 1101).
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку N_{1}
, симметричную точке N
относительно данной прямой. Если точка N_{1}
совпадает с M
, то задача имеет бесконечное число решений. Пусть точка N_{1}
отлична от M
. Если прямая N_{1}M
пересекает прямую l
, то точка пересечения есть искомая вершина C
треугольника ABC
(если N_{1}M\parallel l
, то задача не имеет решений).
На отрезке MN
как на хорде в полуплоскости, не содержащей точки C
(относительно прямой MN
), строим дугу, вмещающую угол, равный 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C
(см. задачу 2889). Пересечение этой дуги с данной прямой даёт точку Q
. Прямые MQ
и NQ
пересекают прямые CN
и CM
соответственно в вершинах A
и B
искомого треугольника ABC
.