5071. Докажите, что если H
— ортоцентр треугольника ABC
и O
— центр описанной около него окружности радиуса R
, то
AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}=3R^{2}+OH^{2}.
Указание. \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
(см. задачу 4516),
AH^{2}+BC^{2}=4R^{2}
(см. задачу 3802).
Решение. Известно, что
\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
(см. задачу 4516), поэтому
OH^{2}=\overrightarrow{OH}^{2}=\overrightarrow{OA}^{2}+\overrightarrow{OB}^{2}+\overrightarrow{OC}^{2}+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=
=R^{2}+R^{2}+R^{2}+2R^{2}-c^{2}+2R^{2}-b^{2}+2R^{2}-a^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Значит,
3R^{2}+\overrightarrow{OH}^{2}=12R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
С другой стороны, так как
AH^{2}+a^{2}=4R^{2},~BH^{2}+b^{2}=4R^{2},~CH^{2}+c^{2}=4R^{2},
(см. задачу 3802), то
AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}=12R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Следовательно,
AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}=3R^{2}+OH^{2}.
Примечание. Из доказанного равенства следует, что
AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}\geqslant3R^{2},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.