5212. В треугольник со сторонами 3, 5 и 6 вписана окружность, касающаяся сторон треугольника в точках A
, B
и C
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{16}{45}\sqrt{14}
.
Решение. Пусть окружность, вписанная в треугольник KLM
со сторонами LM=3
, KM=5
и KL=6
в точках A
, B
и C
соответственно. Обозначим через p
полупериметр треугольника ABC
. Тогда
p=\frac{3+5+6}{2}=7,~KC=KB=p-LM=7-3=4
(см. задачу 219),
LA=LC=p-KM=7-5=2,~MA=MB=p-KL=7-6=1.
По формуле Герона
S_{\triangle KLM}=\sqrt{p(p-LM)(p-LA)(p-KL)}=\sqrt{7\cdot4\cdot2\cdot1}=2\sqrt{14}.
Поэтому (см. задачу 3007)
S_{\triangle KBC}=\frac{KC}{KL}\cdot\frac{KB}{KM}\cdot S_{\triangle KLM}=\frac{4}{6}\cdot\frac{4}{5}S_{\triangle KLM}=\frac{8}{15}S_{\triangle KLM},
S_{\triangle ALC}=\frac{LA}{LM}\cdot\frac{LC}{LK}S_{\triangle KLM}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{6}S_{\triangle KLM}=\frac{2}{9}S_{\triangle KLM},
S_{\triangle AMB}=\frac{MA}{ML}\cdot\frac{MB}{MK}S_{\triangle KLM}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}S_{\triangle KLM}=\frac{1}{15}S_{\triangle KLM}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle KLM}-S_{\triangle KBC}-S_{\triangle ALC}-S_{\triangle AMB}=\left(1-\frac{8}{15}-\frac{2}{9}-\frac{1}{15}\right)S_{\triangle KLM}=\frac{8}{45}\cdot2\sqrt{14}=\frac{16\sqrt{14}}{45}.