5220. В треугольнике ABC
известны стороны: AB=7
, BC=9
, AC=10
. Окружность, проходящая через точки A
и C
, пересекает прямые BA
и BC
соответственно в точках K
и L
, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL
касается окружности, вписанной в треугольник ABC
. Найдите длину отрезка KL
.
Ответ. \frac{30}{13}
, 10
.
Решение. Обе точки K
и L
не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок KL
не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.
Пусть обе точки K
и L
лежат на сторонах треугольника (рис. 1). Четырёхугольник AKLC
— вписанный, следовательно,
\angle KAC=180^{\circ}-\angle KLC=\angle BLK.
Значит, треугольник ABC
подобен треугольнику LBK
, так как угол ABC
— общий.
Пусть вписанная окружность касается стороны AB
в точке M
, p
и p_{1}
— полупериметры треугольников ABC
и LBK
соответственно. Тогда
p=\frac{7+9+10}{1}=13,~p_{1}=BM=p-AC=13-10=3
(см. задачи 219 и 4805), значит, коэффициент подобия треугольников равен \frac{p_{1}}{p}=\frac{3}{13}
. Следовательно,
KL=\frac{3}{13}\cdot AC=\frac{3}{13}\cdot10=\frac{30}{13}.
Пусть точка K
лежит на продолжении стороны AB
(рис. 2). Вписанные углы AKL
и ACL
равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. Значит, треугольник ABC
подобен треугольнику LBK
, так как угол ABC
— общий. Эти треугольники описаны около одной и той же окружности, следовательно, коэффициент подобия равен 1, т. е. треугольники равны, поэтому KL=AC=10
.
Заметим, что BK=BC\gt AB
и точка K
действительно лежит на продолжении стороны AB
.
Если же точка L
лежит на продолжении стороны BC
, то BL\gt BC
, но аналогично предыдущему случаю получаем, что BL=AB\lt BC
. Значит, этот случай не достигается.