5233. Боковые стороны KL
и MN
трапеции KLMN
равны 8 и 17 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые KL
и MN
пересекаются в точке A
. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM
.
Ответ. 2 или 5.
Указание. См. задачу 1226.
Решение. Докажем сначала, что отрезок, соединяющий середины диагоналей любой трапеции, равен полуразности оснований. Действительно, рассмотрим произвольную трапецию XYZT
с основаниями XT\gt YZ
(рис. 1). Пусть G
и H
— середины её диагоналей XZ
и YT
, а Q
— середина боковой стороны ZT
. Тогда GQ
и HQ
— средние линии треугольников XZT
и YZT
, поэтому GQ\parallel XT
и HQ\parallel YZ
, а так как YZ\parallel XT
, то HQ\parallel XT
. Значит, точки G
, H
и Q
лежат на одной прямой. Следовательно,
GH=GQ-HQ=\frac{1}{2}XT-\frac{1}{2}YZ=\frac{XT-YZ}{2}.
Что и требовалось доказать.
В нашем случае полуразность оснований равна 7,5, а полусумма оснований равна 17,5, поэтому основания трапеции равны 10 и 25.
Предположим, что LM=25
, KN=10
(рис. 1). Стороны LM
и KN
треугольников ALM
и AKN
параллельны, поэтому эти треугольники подобны с коэффициентом k=\frac{KN}{LM}=\frac{2}{5}
. Значит,
AL=\frac{KL}{1-k}=\frac{8}{1-\frac{2}{5}}=\frac{40}{3},~AM=\frac{MN}{1-k}=\frac{17}{1-\frac{2}{5}}=\frac{85}{3}.
Заметим, что AL^{2}+LM^{2}=AM^{2}
, поэтому треугольник ALM
— прямоугольный с гипотенузой AM
. Радиус его вписанной окружности равен:
r=\frac{AL+LM-AM}{2}=\frac{\frac{40}{3}+25-\frac{85}{3}}{2}=5
(см. задачу 217).
Пусть теперь KN=25
, LM=10
(рис. 2). Аналогично предыдущему случаю можно показать, что радиус вписанной окружности треугольника AKN
равен 5.
Треугольники ALM
и AKN
подобны с коэффициентом k=\frac{2}{5}
. Значит, радиус вписанной окружности треугольника ALM
равен r=5k=\frac{2}{5}\cdot5=2
.