5234. Боковые стороны AB
и CD
трапеции ABCD
равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB
и CD
пересекаются в точке M
. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BMC
.
Ответ. 4 или 6.
Указание. См. задачу 1226.
Решение. Докажем сначала, что отрезок, соединяющий середины диагоналей любой трапеции, равен полуразности оснований. Действительно, рассмотрим произвольную трапецию XYZT
с основаниями XT\gt YZ
(рис. 1). Пусть G
и H
— середины её диагоналей XZ
и YT
, а Q
— середина боковой стороны ZT
. Тогда GQ
и HQ
— средние линии треугольников XZT
и YZT
, поэтому GQ\parallel XT
и HQ\parallel YZ
, а так как YZ\parallel XT
, то HQ\parallel XT
. Значит, точки G
, H
и Q
лежат на одной прямой. Следовательно,
GH=GQ-HQ=\frac{1}{2}XT-\frac{1}{2}YZ=\frac{XT-YZ}{2}.
Что и требовалось доказать.
Перейдём к нашей задаче. По теореме о средней линии трапеции \frac{1}{2}(AD+BC)=25
.
Предположим, что AD\gt BC
(рис. 2). Тогда точки M
и B
лежат по одну сторону от прямой AD
и \frac{AD-BC}{2}=5
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную боковой стороне AB
. Пусть эта прямая пересекается с прямой AD
в точке E
. Тогда
DE=AD-AE=AD-BC=10,~CE=AB=6.
Треугольник CDE
— прямоугольный, так как CE^{2}+CD^{2}=36+64=100=DE^{2}
, значит, прямые AB
и CD
перпендикулярны. Из системы
\syst{\frac{1}{2}(AD-BC)=5\\\frac{1}{2}(AD+BC)=25\\}
находим, что AD=30
, BC=20
.
Треугольник MBC
подобен прямоугольному треугольнику CED
с коэффициентом \frac{BC}{ED}=\frac{20}{10}=2
, значит,
MB=2CE=2\cdot6=12,~MC=2CD=2\cdot8=16.
Пусть r
— радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник MBC
. Тогда
r=\frac{MB+MC-BC}{2}=\frac{12+16-20}{2}=4
(см. задачу 217).
Пусть теперь AD\lt BC
(рис. 3). Тогда точки M
и B
лежат по разные стороны от прямой AD
. В этом случае BC=30
, AD=20
, MB=18
, MD=24
.
Пусть R
— радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник MBC
. Тогда
r=\frac{MB+MC-BC}{2}=\frac{18+24-30}{2}=6.
Источник: ЕГЭ. — 2012 г., задача C4, вариант 15