5235. Боковые стороны
KL
и
MN
трапеции
KLMN
равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые
KL
и
MN
пересекаются в точке
A
. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
ALM
.
Ответ. 2 или 6.
Указание. См. задачу 1226.
Решение. Докажем сначала, что отрезок, соединяющий середины диагоналей любой трапеции, равен полуразности оснований. Действительно, рассмотрим произвольную трапецию
XYZT
с основаниями
XT\gt YZ
(рис. 1). Пусть
G
и
H
— середины её диагоналей
XZ
и
YT
, а
Q
— середина боковой стороны
ZT
. Тогда
GQ
и
HQ
— средние линии треугольников
XZT
и
YZT
, поэтому
GQ\parallel XT
и
HQ\parallel YZ
, а так как
YZ\parallel XT
, то
HQ\parallel XT
. Значит, точки
G
,
H
и
Q
лежат на одной прямой. Следовательно,
GH=GQ-HQ=\frac{1}{2}XT-\frac{1}{2}YZ=\frac{XT-YZ}{2}.

Что и требовалось доказать.
Перейдём к нашей задаче. По теореме о средней линии трапеции
\frac{1}{2}(KN+LM)=24
.
Предположим, что
KN\gt LM
(рис. 2). Тогда точки
A
и
L
лежат по одну сторону от прямой
KN
и
\frac{KN-LM}{2}=12
. Через вершину
M
проведём прямую, параллельную боковой стороне
KL
. Пусть эта прямая пересекается с прямой
KN
в точке
B
. Тогда
BN=KN-KB=KN-LM=24,~BM=KL=10.

Треугольник
BMN
— прямоугольный, так как
BN^{2}+BM^{2}=24^{2}+10^{2}=576+100=676=26^{2}=MN^{2},

значит, прямые
AK
и
KN
перпендикулярны.
Из системы
\syst{\frac{1}{2}(KN-LM)=12\\\frac{1}{2}(KN+LM)=24\\}

находим, что
KN=36
,
LM=12
.
Треугольник
ALM
подобен прямоугольному треугольнику
MBN
(по двум углам) с коэффициентом
\frac{LM}{BN}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}
, значит,
AL=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}\cdot10=5,~AM=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}\cdot26=13.

Пусть
r
— радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник
ALM
. Тогда
r=\frac{AL+LM-AM}{2}=\frac{5+12-13}{2}=2

(см. задачу 217).
Пусть теперь
KN\lt LM
(рис. 3). Тогда точки
A
и
L
лежат по разные стороны от прямой
KN
. В этом случае
KN=12,~LM=36,~AL=AK+KL=5+10=15,~AM=AN+NM=13+26=39.

Пусть
R
— радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник
ALM
. Тогда
r=\frac{AL+LM-AM}{2}=\frac{15+36-39}{2}=6.

Источник: ЕГЭ. — 2012 г., задача C4, вариант 16