5235. Боковые стороны KL
и MN
трапеции KLMN
равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые KL
и MN
пересекаются в точке A
. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM
.
Ответ. 2 или 6.
Указание. См. задачу 1226.
Решение. Докажем сначала, что отрезок, соединяющий середины диагоналей любой трапеции, равен полуразности оснований. Действительно, рассмотрим произвольную трапецию XYZT
с основаниями XT\gt YZ
(рис. 1). Пусть G
и H
— середины её диагоналей XZ
и YT
, а Q
— середина боковой стороны ZT
. Тогда GQ
и HQ
— средние линии треугольников XZT
и YZT
, поэтому GQ\parallel XT
и HQ\parallel YZ
, а так как YZ\parallel XT
, то HQ\parallel XT
. Значит, точки G
, H
и Q
лежат на одной прямой. Следовательно,
GH=GQ-HQ=\frac{1}{2}XT-\frac{1}{2}YZ=\frac{XT-YZ}{2}.
Что и требовалось доказать.
Перейдём к нашей задаче. По теореме о средней линии трапеции \frac{1}{2}(KN+LM)=24
.
Предположим, что KN\gt LM
(рис. 2). Тогда точки A
и L
лежат по одну сторону от прямой KN
и \frac{KN-LM}{2}=12
. Через вершину M
проведём прямую, параллельную боковой стороне KL
. Пусть эта прямая пересекается с прямой KN
в точке B
. Тогда
BN=KN-KB=KN-LM=24,~BM=KL=10.
Треугольник BMN
— прямоугольный, так как
BN^{2}+BM^{2}=24^{2}+10^{2}=576+100=676=26^{2}=MN^{2},
значит, прямые AK
и KN
перпендикулярны.
Из системы
\syst{\frac{1}{2}(KN-LM)=12\\\frac{1}{2}(KN+LM)=24\\}
находим, что KN=36
, LM=12
.
Треугольник ALM
подобен прямоугольному треугольнику MBN
(по двум углам) с коэффициентом \frac{LM}{BN}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}
, значит,
AL=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}\cdot10=5,~AM=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}\cdot26=13.
Пусть r
— радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ALM
. Тогда
r=\frac{AL+LM-AM}{2}=\frac{5+12-13}{2}=2
(см. задачу 217).
Пусть теперь KN\lt LM
(рис. 3). Тогда точки A
и L
лежат по разные стороны от прямой KN
. В этом случае
KN=12,~LM=36,~AL=AK+KL=5+10=15,~AM=AN+NM=13+26=39.
Пусть R
— радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ALM
. Тогда
r=\frac{AL+LM-AM}{2}=\frac{15+36-39}{2}=6.