5236. Боковые стороны
AB
и
CD
трапеции
ABCD
равны 7 и 24 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей равен 12,5, средняя линия трапеции равна 27,5. Прямые
AB
и
CD
пересекаются в точке
M
. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
BMC
.
Ответ.
\frac{9}{5}
или
\frac{24}{5}
.
Указание. См. задачу 1226.
Решение. Докажем сначала, что отрезок, соединяющий середины диагоналей любой трапеции, равен полуразности оснований. Действительно, рассмотрим произвольную трапецию
XYZT
с основаниями
XT\gt YZ
(рис. 1). Пусть
G
и
H
— середины её диагоналей
XZ
и
YT
, а
Q
— середина боковой стороны
ZT
. Тогда
GQ
и
HQ
— средние линии треугольников
XZT
и
YZT
, поэтому
GQ\parallel XT
и
HQ\parallel YZ
, а так как
YZ\parallel XT
, то
HQ\parallel XT
. Значит, точки
G
,
H
и
Q
лежат на одной прямой. Следовательно,
GH=GQ-HQ=\frac{1}{2}XT-\frac{1}{2}YZ=\frac{XT-YZ}{2}.

Что и требовалось доказать.
Перейдём к нашей задаче. По теореме о средней линии трапеции
\frac{1}{2}(AD+BC)=27{,}5
.
Предположим, что
AD\gt BC
(рис. 2). Тогда точки
M
и
B
лежат по одну сторону от прямой
AD
и
\frac{AD-BC}{2}=12{,}5
. Через вершину
C
проведём прямую, параллельную боковой стороне
AB
. Пусть эта прямая пересекается с прямой
AD
в точке
E
. Тогда
DE=AD-AE=AD-BC=25,~CE=AB=7.

Треугольник
CDE
— прямоугольный, так как
CE^{2}+CD^{2}=49+576=625=DE^{2}
, значит, прямые
AB
и
CD
перпендикулярны. Из системы
\syst{\frac{1}{2}(AD-BC)=12{,}5\\\frac{1}{2}(AD+BC)=27{,}5\\}

находим, что
AD=40
,
BC=15
.
Треугольник
MBC
подобен прямоугольному треугольнику
CED
(по двум углам) с коэффициентом
\frac{BC}{ED}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}
, значит,
MB=\frac{3}{5}CE=\frac{3}{5}\cdot7=\frac{21}{5},~MC=\frac{3}{5}CD=\frac{3}{5}\cdot24=\frac{72}{5}.

Пусть
r
— радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник
MBC
. Тогда
r=\frac{MB+MC-BC}{2}=\frac{\frac{21}{5}+\frac{72}{5}-15}{2}=\frac{9}{5}

(см. задачу 217).
Пусть теперь
AD\lt BC
(рис. 3). Тогда точки
M
и
B
лежат по разные стороны от прямой
AD
. В этом случае
BC=40,~MB=MA+AB=\frac{21}{5}+7=\frac{56}{5},~MC=MD+CD=\frac{72}{5}+24=\frac{192}{5}.

Пусть
R
— радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник
MBC
. Тогда
r=\frac{MB+MC-BC}{2}=\frac{\frac{56}{5}+\frac{192}{5}-40}{2}=\frac{24}{5}.

Источник: ЕГЭ. — 2012 г., задача C4, вариант 17