5289. Дан треугольник с углами \angle BAC=105^{\circ}
и \angle ABC=30^{\circ}
. Из вершины C
проведены высота CH
и медиана CM
. Докажите, что \angle ACH=\angle BCM
.
Указание. Каждый из углов ACH
и BCM
равен 15^{\circ}
.
Решение. Поскольку \angle BAC\gt90^{\circ}
, точка H
лежит на продолжении стороны AB
за точку A
(см. задачу 127). Тогда BAC
— внешний угол прямоугольного треугольника ACH
, значит,
\angle ACH=\angle BAC-\angle AHC=105^{\circ}-90^{\circ}=15^{\circ}.
Пусть AP
— высота треугольника ABC
. Поскольку \angle BCA=45^{\circ}
и \angle CAP=45^{\circ}
, треугольник APC
равнобедренный, CP=AP
, а так как PM
— медиана прямоугольного треугольника APB
, проведённая из вершины прямого угла, то PM=\frac{1}{2}AB=AP=CP
(см. задачу 1109). BPM
— внешний угол равнобедренного треугольника CPM
, поэтому \angle BCM=\frac{1}{2}\angle BPM=15^{\circ}
.
Следовательно, \angle BCM=\angle ACH
.