5293. Радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
со сторонами AB=c
, BC=a
и AC=b
, равен r
. Докажите, что если a+b=c+2r
, то треугольник ABC
прямоугольный.
Указание. Если окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается стороны BC
в точке L
, а p
— полупериметр треугольника, то CL=p-AB
(см. задачу 219).
Решение. Пусть окружность с центром O
, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон BC
и AC
в точках L
и M
соответственно, p
— полупериметр треугольника. Тогда (см. задачу 219)
CL=CM=p-AB=p-c=\frac{a+b-c}{2}=\frac{c+2r-c}{2}=r.
Стороны четырёхугольника OLCM
равны r
, а угол OMC
— прямой, значит, OLMC
— ромб с прямым углом, т. е. квадрат. Следовательно, \angle ACB=\angle MCL=90^{\circ}
.
Примечание. Верно и обратное: если r
— радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами a
, b
и гипотенузой c
, то a+b=c+2r
(см. задачу 217).