5321. Какое наибольшее значение может принимать длина отрезка, отсекаемого боковыми сторонами треугольника на касательной к вписанной окружности, проведённой параллельно основанию, если периметр треугольника равен 2p
?
Ответ. \frac{p}{4}
.
Указание. См. задачи 4805 и 219.
Решение. Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается его сторон AB
и AC
в точках M
и N
соответственно. Обозначим BC=x
, MN=a
.
Полупериметр треугольника AMN
равен длине отрезка AM
(см. задачу 4805). В то же время, AM=p-BC=p-x
(см. задачу 219). Треугольник AMN
подобен треугольнику ABC
, причём коэффициент подобия равен отношению полупериметров этих треугольников, т. е. \frac{a}{x}=\frac{p-x}{p}
. Отсюда получаем, что
a=\frac{x(p-x)}{p}=\frac{1}{p}x(p-x)\leqslant\frac{1}{p}\left(\frac{x+p-x}{2}\right)^{2}=\frac{1}{p}\cdot\frac{p^{2}}{4}=\frac{p}{4},
причём равенство достигается в случае, когда x=p-x
, т. е. при x=\frac{p}{2}
.