5322. Дан треугольник ABC
. На сторонах CA
и CB
взяты соответственно точки M
и N
, причём CM=mCA
и CN=nCB
. Медиана треугольника, проведённая из вершины C
, пересекает отрезок MN
в точке E
. Найдите отношение отрезков ME
и EN
.
Ответ. \frac{m}{n}
.
Указание. См. задачи 4500 и 4186.
Решение. Обозначим \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}
, \frac{ME}{EN}=x
. Пусть CC_{1}
— медиана треугольника ABC
. Тогда
\overrightarrow{CC_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}),~\overrightarrow{CE}=\frac{1}{x+1}\overrightarrow{CM}+\frac{x}{x+1}\overrightarrow{CN}=\frac{m}{x+1}\overrightarrow{a}+\frac{nx}{x+1}\overrightarrow{b}
(см. задачи 4500 и 4186).
Векторы \overrightarrow{CC_{1}}
и \overrightarrow{CE}
коллинеарны, поэтому найдётся число \lambda
, для которого \overrightarrow{CE}=\lambda\overrightarrow{CC_{1}}
. Значит,
\frac{\lambda}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\frac{m}{x+1}\overrightarrow{a}+\frac{nx}{x+1}\overrightarrow{b},
а так как \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
неколлинеарные векторы, то \frac{\lambda}{2}=\frac{m}{x+1}
и \frac{\lambda}{2}=\frac{nx}{x+1}
. Значит, \frac{m}{x+1}=\frac{nx}{x+1}
. Следовательно, x=\frac{m}{n}
.