5337. В треугольник, периметр которого равен 18, вписана окружность, к которой проведена касательная параллельно основанию треугольника. Отрезок касательной, заключённый внутри треугольника, равен 2. Найдите основание треугольника.
Ответ. 3 или 6.
Указание. Отсечённый треугольник подобен данному с коэффициентом, равным отношению их периметров.
Решение. Пусть касательная параллельна стороне AB=x
треугольника ABC
. Обозначим точки пересечения касательной со сторонами AC
и CB
через M
и N
, а точки касания этих сторон с вписанной окружностью — через P
и Q
. Тогда полупериметр треугольника CMN
равен CP=CQ=9-AB=9-x
(см. задачи 4805 и 219). Из подобия треугольников CMN
и CAB
следует, что
\frac{MN}{AB}=\frac{9-x}{9},~\mbox{или}~\frac{2}{x}=\frac{9-x}{9}.
Из этого уравнения находим, что x=3
или x=6
.