5345. Найдите необходимое и достаточное условие, связывающее длины сторон треугольника, чтобы из его медиан можно было построить треугольник, подобный данному.
Ответ. a^{2}+c^{2}=2b^{2}
, где b
— средняя сторона треугольника.
Указание. См. задачи 3537 и 4014.
Решение. Необходимость. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
, а проведённые к ним медианы — m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
соответственно. Предположим, что a\lt b\lt c
.
Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана, поэтому m_{c}\lt m_{b}\lt m_{a}
(см. задачу 3537).
Пусть треугольник, составленный из медиан данного, подобен данному. Тогда \frac{m_{a}}{c}=\frac{m_{b}}{b}
и \frac{m_{c}}{a}=\frac{m_{b}}{b}
, или \frac{m_{a}^{2}}{c^{2}}=\frac{m_{b}^{2}}{b^{2}}
и \frac{m_{c}^{2}}{a^{2}}=\frac{m_{b}^{2}}{b^{2}}
.
Применяя формулу для квадрата медианы (см. задачу 4014), получим, что
\frac{\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}{c^{2}}=\frac{\frac{1}{4}(2a^{2}+2c^{2}-b^{2})}{b^{2}},
\frac{\frac{1}{4}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})}{a^{2}}=\frac{\frac{1}{4}(2a^{2}+2c^{2}-b^{2})}{b^{2}},
2b^{4}+2b^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}=2a^{2}c^{2}+2c^{4}-b^{2}c^{2},
2a^{2}b^{2}+2b^{4}-b^{2}c^{2}=2a^{4}+2a^{2}c^{2}-a^{2}b^{2},
Вычитая друг из друга эти равенства, получим, что
2(c^{4}-a^{4})-3b^{2}(c^{2}-a^{2})=0,~(c^{2}-a^{2})(a^{2}+c^{2}-2b^{2})=0,
а так как a\ne c
, то a^{2}+c^{2}=2b^{2}
.
Если a=b=c
, то утверждение очевидно.
Предположим, что a\lt b=c
. Тогда m_{a}\gt m_{b}=m_{c}
, поэтому оба треугольника равнобедренные. Значит, основание m_{a}
второго соответствует основанию a
первого, но у первого треугольника оно меньше боковой стороны, а второго — больше. Следовательно, такой случай невозможен. Аналогично невозможен случай a=b\lt c
.
Достаточность. Пусть a^{2}+c^{2}=2b^{2}
, где a\leqslant b\leqslant c
. Тогда
\frac{m_{a}^{2}}{c^{2}}=\frac{\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}{c^{2}}=\frac{\frac{1}{4}(a^{2}+c^{2}+2c^{2}-a^{2})}{c^{2}}=\frac{3}{4},
\frac{m_{c}^{2}}{a^{2}}=\frac{\frac{1}{4}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})}{a^{2}}=\frac{\frac{1}{4}(2a^{2}+a^{2}+c^{2}-c^{2})}{c^{2}}=\frac{3}{4},
\frac{m_{b}^{2}}{b^{2}}=\frac{\frac{1}{4}(2a^{2}+2c^{2}-b^{2})}{b^{2}}=\frac{\frac{1}{4}(4b^{2}-b^{2})}{b^{2}}=\frac{3}{4}.
Значит, \frac{m_{a}}{c}=\frac{m_{c}}{a}=\frac{m_{b}}{b}
. Следовательно, треугольник со сторонами m_{a}
, m_{b}
, m_{c}
подобен треугольнику со сторонами c
, b
, a
, причём коэффициент подобия равен \frac{\sqrt{3}}{2}
.