5350. Через точки A
и B
, лежащие по разные стороны от данной прямой, проведите окружность так, чтобы она отсекала от этой прямой хорду наименьшей длины.
Указание. Примените теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд окружности (см. задачу 2627).
Решение. Пусть окружность, проходящая через точки A
и B
пересекает данную прямую l
в точках C
и D
, прямые AB
и l
пересекаются в точке M
. Обозначим AM=a
, BM=b
, CM=x
, DM=y
. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд CM\cdot DM=AM\cdot BM
, или xy=ab
. Следовательно,
CD=x+y\geqslant2\sqrt{xy}=2\sqrt{ab},
причём равенство достигается в случае, когда x=y
, т. е. когда хорда AB
проходит через середину хорды CD
. В этом случае x=\sqrt{ab}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. По данным отрезкам a
и b
строим отрезок x=\sqrt{ab}
(см. задачу 1986). Откладываем на прямой l
от точки M
её пересечения с AB
отрезок MC=x
и описываем окружность около треугольника ABC
. Отличная от C
точка D
пересечения прямой l
с построенной окружностью есть второй конец искомого отрезка.