5358. Найдите геометрическое место точек пересечения диагоналей прямоугольников, вписанных в данный треугольник ABC
так, что сторона каждого прямоугольника лежит на большей стороне треугольника.
Ответ. Отрезок, соединяющий середину большей стороны треугольника с серединой высоты, опущенной на эту сторону (без концов отрезка).
Решение. Пусть AH
— высота треугольника ABC
, опущенная на большую сторону BC
, P
— середина стороны BC
, KLMN
— прямоугольник, сторона KN
которого лежит на стороне BC
треугольника ABC
, а вершины L
и M
— на сторонах AB
и AC
.
Медиана AP
треугольника ABC
проходит через середину X
отрезка LM
, параллельного BC
(см. задачу 2607). Пусть Y
— проекция точки X
на сторону BC
. Тогда Y
— середина KN
, значит, отрезок XY
проходит через точку O
пересечения диагоналей прямоугольника KLMN
(см. задачу 1859) и делится ею пополам, а так как AH\parallel XY
, то Q
— середина AH
. Прямая PO
проходит через середину Q
высоты AH
. Следовательно, точка пересечения O
любого прямоугольника, о котором говорится в условии задачи, лежит на отрезке PQ
.
Обратно, пусть O
— произвольная точка, лежащая внутри отрезка PQ
, X
и Y
— точки пересечения прямой, проходящей через точку O
параллельно высоте AH
, с медианой AP
и стороной BC
соответственно. Через точку X
проведём прямую, параллельную BC
. Пусть эта прямая пересекает стороны AB
и AC
треугольника ABC
в точках L
и M
соответственно, а K
и N
— проекции точек соответственно L
и M
на сторону BC
. Тогда O
— точка пересечения диагоналей прямоугольника KLMN
.
Действительно, Q
— середина AH
и XY\parallel AH
, поэтому O
— середина XY
(см. задачу 2607), а так как P
— середина BC
и LM\parallel BC
, то X
— середина LM
. Следовательно, O
— центр прямоугольника KLMN
(см. задачу 1859).