5362. Около данного прямоугольника опишите прямоугольник наибольшей площади
Решение. Первый способ. Пусть ABCD
— данный прямоугольник. На каждой его стороне построим как на диаметре полуокружность, расположенную вне прямоугольника. Тогда вершины искомого прямоугольника XYZT
должны лежать на этих полуокружностях (см. задачу 1689).
Пусть X
и Z
— вершины, расположенные на построенных полуокружностях с диаметрами AD
и BC
и центрами O
и Q
соответственно. Тогда диагональ XZ
прямоугольника XYZT
максимальна, если точки X
и Z
лежат на прямой MN
(см. задачу 462). Аналогично для диагонали YT
. В этом случае XYZT
— квадрат, сторона которого равна полупериметру данного прямоугольника ABCD
.
Пусть EFGH
— произвольный прямоугольник, описанный около прямоугольника ABCD
, а угол между диагоналями EG
и FH
прямоугольника EFGH
равен \alpha
. Тогда (см. задачу 3018)
S_{EFGH}=\frac{1}{2}EG\cdot FH\sin\alpha\leqslant\frac{1}{2}EG\cdot FH\leqslant\frac{1}{2}XZ\cdot YT=S_{XYZT}.
Следовательно, квадрат XYZT
есть прямоугольник наибольшей площади, описанный около прямоугольника ABCD
.
Второй способ. Пусть вершины A
, B
, C
и D
данного прямоугольника ABCD
со сторонами AB=a
, AD=b
лежат на сторонах соответственно YZ
, XY
, XT
и TZ
искомого прямоугольника XYZT
.
Обозначим \angle BAY=x
. Тогда \angle ADG=\angle BAY=x
. Из прямоугольных треугольников BAY
и ADZ
находим, что
AY=a\cos x,~BY=a\sin x,~AZ=b\sin x,~DZ=b\cos x.
Прямоугольные треугольники DCT
и BAY
равны по гипотенузе и острому углу. Аналогично равны прямоугольные треугольники CBX
и ADZ
, значит,
S_{XYZT}=S_{ABCD}+2(S_{\triangle BAY}+S_{\triangle ADZ})=
=ab+2\left(\frac{1}{2}a^{2}\sin x\cos x+\frac{1}{2}b^{2}\sin x\cos x\right)=ab+(a^{2}+b^{2})\sin x\cos x=
=ab+\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})\sin2x\leqslant ab+\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})=\frac{1}{2}(a+b)^{2},
причём равенство достигается в случае, когда \sin2x=1
, т. е. при x=45^{\circ}
. В этом случае искомый прямоугольник — квадрат.
Отсюда вытекает следующее построение. От луча AB
в полуплоскость, не содержащую вершину C
данного прямоугольника ABCD
, отложим луч l
под углом 45^{\circ}
к лучу AB
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную l
, а через вершины B
и D
— прямые, перпендикулярные l
.
Примечание. Площадь такого квадрата равна половине \frac{p^{2}}{2}
, где p
— полупериметр данного прямоугольника. Следовательно, прямоугольники наибольшей площади, описанные около прямоугольников равных периметров, равны.