5379. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин равностороннего треугольника до произвольной точки вписанной в него окружности постоянна. Чему равна эта сумма, если сторона треугольника равна a
?
Ответ. \frac{5a^{2}}{4}
.
Решение. Первый способ. Поместим начало координат в центр O
равностороннего треугольника ABC
(см. рис.), а ось Oy
направим по лучу OA
, а ось Ox
— по перпендикулярному ему лучу с началом в точке O
. Тогда уравнение окружности, вписанной в треугольник, имеет вид x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{12}
(см. задачу 4202), а вершины треугольника имеют координаты A\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)
, B\left(-\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)
, C\left(\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)
.
Пусть M(x;y)
— произвольная точка на окружности, вписанной в треугольник ABC
. Тогда x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{12}
. Следовательно (см. задачу 4201),
MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=\left(x^{2}+\left(y-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+
+\left(\left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^{2}\right)+\left(\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^{2}\right)=
=3x^{2}+3y^{2}+\frac{a^{2}}{3}+2\cdot\frac{a^{2}}{4}+2\cdot\frac{a^{2}}{12}=3(x^{2}+y^{2})+a^{2}=3\cdot\frac{a^{2}}{12}+a^{2}=\frac{5a^{2}}{4}.
Что и требовалось.
Второй способ. Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz
и точки A\left(\frac{a}{\sqrt{2}};0;0\right)
, B\left(0;\frac{a}{\sqrt{2}};0\right)
, C\left(0;0;\frac{a}{\sqrt{2}}\right)
, M(x;y;z)
. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, есть пересечение сферы x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{a^{2}}{4}
радиуса \frac{a}{2}
(a\gt0
) и плоскости x+y+z=\frac{a}{\sqrt{2}}
(см. задачу 7564). Значит,
MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=
=\left(x-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}+y^{2}+z^{2}+x^{2}+\left(y-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}+z^{2}+x^{2}+y^{2}+\left(z-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}=
=3(x^{2}+y^{2}+z^{2})-a\sqrt{2}(x+y+z)+\frac{3a^{2}}{2}=3\cdot\frac{a^{2}}{4}-a\sqrt{2}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}+\frac{3a^{2}}{2}=\frac{5a^{2}}{4}.
Следовательно, рассматриваемая сумма не зависит от положения точки M
на окружности, и равна \frac{5a^{2}}{4}
. Что и требовалось.