5389. Медианы AM
и BN
треугольника ABC
пересекаются в точке G
. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ANG
и BMG
, равны. Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
Решение. Пусть I_{1}
и I_{2}
— центры вписанных окружностей треугольников ANG
и BMG
соответственно, а \angle AGN=\angle BGM=\alpha
. Тогда прямоугольные треугольники GI_{1}R
и GI_{2}S
равны по катету и противолежащему острому углу, поэтому GR=GS
.
Радиусы окружностей равны, а треугольники ANG
и BMG
равновелики (см. задачу 3013), поэтому равны их полупериметры (см. задачу 452), т. е.
AN+GR=BM+GS~\Rightarrow~AN=BM~\Rightarrow~AC=BC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1976, № 8, задача 144 (1976, 94), с. 180