5421. Треугольник ABC
вписан в окружность. Точка D
— середина дуги AC
, не содержащей точки B
. На сторонах AB
и CB
соответственно отмечены точки K
и L
, причём KL\parallel AC
. Пусть K'
и L'
— точки пересечения с окружностью прямых DK
и DL
соответственно. Докажите, что около четырёхугольника KLL'K'
можно описать окружность.
Указание. Через точку D
проведите касательную к описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. На касательной, проведённой к окружности в точке D
, отметим по разные стороны от D
точки M
и N
так, чтобы точки N
и L'
лежали по разные стороны от прямой DK
.
Поскольку D
— середина дуги AC
, треугольник ADC
равнобедренный, значит,
\angle CDM=\angle CAD=\angle ACD
(см. задачу 87). Поэтому MN\parallel AC\parallel KL
. Тогда \angle K'KL=\angle KDM
, а так как \angle K'L'D=\angle K'DN
(см. задачу 87), то
\angle K'KL+\angle K'L'L=\angle KDM+\angle K'DN=180^{\circ}.
Следовательно, около четырёхугольника KK'L'L
можно описать окружность (см. задачу 49).
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 1999, 10-11 класс