5445. Пусть O
— центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
, T
— центр описанной окружности треугольника AOC
, M
— середина AC
. На сторонах AB
и BC
выбраны точки D
и E
соответственно так, что \angle BDM=\angle BEM=\angle ABC
. Докажите, что BT\perp DE
.
Решение. Точка D
лежит на стороне треугольника, поэтому BDM
— внешний угол треугольника ADM
. Значит,
\angle ABC=\angle BDM\gt\angle BAC.
Аналогично \angle ABC\gt\angle ACB
. Следовательно, ABC
— наибольший угол треугольника ABC
. Тогда
\angle AOC=2\angle ABC\geqslant2\cdot60^{\circ}=120^{\circ}
(см. задачу 1197(а)), и точки O
и T
лежат по разные стороны от прямой AC
.
Пусть прямые ME
и MD
пересекаются с прямыми AB
и BC
соответственно в точках X
и Y
. Поскольку углы BAC
и ACB
острые, точки X
и Y
лежат на продолжениях отрезков BA
и BC
за точки A
и C
соответственно. Заметим, что
\angle DXM=180^{\circ}-\angle ABE-\angle BEM=180^{\circ}-2\angle ABC,
аналогично \angle EYM=180^{\circ}-2\angle ABC
, поэтому четырёхугольник DEYX
вписанный (см. задачу 12), значит, \angle BED=\angle BXY
.
Далее, \angle ATM=2\angle ACO
(так как точки O
, M
, T
, очевидно, лежат на серединном перпендикуляре к AC
и T
— центр описанной окружности треугольника AOC
). Тогда
\angle ATM=2(90^{\circ}-\angle MOC)=2(90^{\circ}-\angle ABC),
так как O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Поэтому
\angle ATM=180^{\circ}-2\angle ABC=\angle AXM,
откуда четырёхугольник AMTX
— вписанный. Поскольку \angle AMT=90^{\circ}
, то \angle AXT=90^{\circ}
. Аналогично \angle CYT=90^{\circ}
. Тогда четырёхугольник BXTY
также вписанный, и
\angle TBY=\angle TXY=90^{\circ}-\angle BXY.
Получаем
\angle BED+\angle TBE=\angle BXY+(90^{\circ}-\angle BXY)=90^{\circ},
что и требовалось.