5466. Медианы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке M
. Точки A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— середины отрезков MA
, MB
и MC
соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A_{1}B_{2}C_{1}A_{2}B_{1}C_{2}
вдвое меньше площади треугольника ABC
.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB=4
, BC=7
и AC=8
.
Ответ. \frac{43}{2}
.
Указание. Примените формулу для квадрата медианы треугольника (см. задачу 4014).
Решение. а) Обозначим S_{\triangle ABC}=S
. Тогда площадь каждого из треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC
, равна \frac{1}{6}S
(см. задачу 3013). Заметим, что C_{1}A_{2}
— медиана треугольника AC_{1}M
, поэтому
S_{\triangle A_{2}MC_{1}}=\frac{1}{2}S_{\triangle AMC_{1}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{12}S.
Аналогично для остальных пяти треугольников, составляющих шестиугольник A_{1}B_{2}C_{1}A_{2}B_{1}C_{2}
. Следовательно, площадь этого шестиугольника равна 6\cdot\frac{1}{12}S=\frac{1}{2}S
.
б) Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
. По формуле для квадрата медианы (см. задачу 4014) находим, что
AA_{1}^{2}=\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2}),~BB_{1}^{2}=\frac{1}{4}(2a^{2}+2c^{2}-b^{2}),~CC_{1}^{2}=\frac{1}{4}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2}).
Медианы треугольника делятся их точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины, поэтому
AM=\frac{2}{3}AA_{1},~BM=\frac{2}{3}BB_{1},~CM=\frac{2}{3}CC_{1}.
Стороны A_{2}B_{1}
и A_{1}B_{2}
— средние линии треугольников AMC
и BMC
, поэтому A_{2}B_{1}=A_{1}B_{2}=\frac{1}{2}CM
,
A_{2}B_{1}^{2}=A_{1}B_{2}^{2}=\frac{1}{4}CM^{2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{9}CC_{1}=\frac{1}{36}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2}).
Аналогично
C_{2}A_{1}^{2}=C_{1}A_{2}^{2}=\frac{1}{36}(2a^{2}+2c^{2}-b^{2}),~B_{2}C_{1}^{2}=B_{1}C_{2}^{2}=\frac{1}{36}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2}).
Следовательно, сумма квадратов всех сторон шестиугольника равна
2A_{2}B_{1}^{2}+2C_{2}A_{1}^{2}+2B_{2}C_{1}^{2}=\frac{1}{18}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2}+2a^{2}+2c^{2}-b^{2}+2b^{2}+2c^{2}-a^{2})=
=\frac{1}{18}(3a^{2}+3b^{2}+3c^{2})=\frac{1}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=\frac{1}{6}(49+64+16)=\frac{129}{6}=\frac{43}{2}.