5476. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне a
, радиусу r
вписанной окружности и радиусу r_{a}
вневписанной окружности, касающейся стороны, равной a
.
Указание. См. задачу 4805.
Решение. Предположим что нужный треугольник ABC
построен, причём BC=a
, радиус вписанной окружности равен r
, а радиус вневписанной окружности, касающейся стороны BC
и продолжений двух других сторон, равен r_{a}
.
Пусть вписанная и вневписанная окружности касаются прямой AB
в точках M
и N
соответственно. Тогда MN=BC=a
(см. задачу 4805). Пусть I
и I_{a}
— центры вписанной и вневписанной окружностей соответственно. Эти окружности либо не пересекаются, либо касаются, поэтому r+r_{a}\leqslant II_{a}
. Опустим перпендикуляр IP
из центра вписанной окружности на прямую I_{a}N
. Тогда
(r+r_{a})^{2}\leqslant II_{a}^{2}=IP^{2}+I_{a}P^{2}=MN^{2}+(I_{a}N-IM)^{2}=a^{2}+(r_{a}-r)^{2},
откуда получаем, что rr_{a}\leqslant\frac{a^{2}}{4}
.
Если это условие выполнено и, кроме того, r\lt r_{a}
, рассмотрим следующее построение. Из концов произвольного отрезка MN=a
проводим прямые, перпендикулярные MN
. По одну сторону от прямой MN
на этих прямых откладываем отрезки MI=r
и MI_{a}=r_{a}
. С центрами I
и I_{a}
строим окружности радиусов соответственно r
и r_{a}
. Строим ещё одну (отличную от MN
) общую внешнюю касательную к этим окружностям (см. задачу 386). Пусть она пересекается с прямой MN
в точке A
. Проводим общую внутреннюю касательную к построенным окружностям (см. задачу 386). Пусть она пересекает прямую MN
в точке B
, а вторую общую внешнюю касательную — в точке C
. Тогда треугольник ABC
— искомый.
Действительно, построенные окружности либо не пересекаются, либо касаются, так как при rr_{a}\leqslant\frac{a^{2}}{4}
выполняется соотношение
II_{a}^{2}=a^{2}+(r_{a}-r)^{2}=(r_{a}+r)^{2}+a^{2}-4rr_{a}\geqslant(r_{a}+r)^{2}.
По построению радиус вписанной окружности треугольника ABC
равен r
, радиус вневписанной окружности, касающейся стороны BC
, равен r_{a}
, а сторона AB
равна MN=a
(см. задачу 4805).
Таким образом, если rr_{a}\leqslant\frac{a^{2}}{4}
и r\lt r_{a}
, то задача имеет единственное решение (вторая общая внутренняя касательная даёт треугольник, равный треугольнику ABC
). Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то задача не имеет решений.
Источник: Кюршак Й. и др. Венгерские математические олимпиады. — М.: Мир, 1976. — № 20, с. 12
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 1900, задача 3
Источник: Голубев В. И., Ерганжиева Л. Н., Мосевич К. К. Построение треугольника. — М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2008. — № 70, с. 106
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2009, № 4, 8-9 классы