5485. С помощью циркуля и линейки постройте правильный пятиугольник.
Решение. Первый способ. Пусть AB
— сторона правильного пятиугольника с центром O
. Тогда AOB
— равнобедренный треугольник с углом 72^{\circ}
при основании AB
. Отсюда вытекает следующее построение.
Возьмём произвольный отрезок AB=a
и построим равнобедренный треугольник AOB
с углом 72^{\circ}
при основании AB
. Поскольку
\cos72^{\circ}=\sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}
(см. задачу 1494), а
OA=\frac{\frac{1}{2}AB}{\cos\cos72^{\circ}}=\frac{a}{2\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{a(\sqrt{5}+1)}{2},
то задача сводится к построению прямоугольного треугольника AMO
по катету \frac{a}{2}
и гипотенузе
OA=\frac{a(\sqrt{5}+1)}{2}=\frac{1}{2}(a\sqrt{5}+a).
Отрезок a\sqrt{5}
строим как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами a
и 2a
, затем строим сумму отрезков a\sqrt{5}+a
, делим полученный отрезок пополам и откладываем на продолжении отрезка AM
за точку M
равный ему отрезок MB
. Тогда AOB
— равнобедренный треугольник с углом 72^{\circ}
при основании AB
. Отложив от него в одном из направлений ещё четыре равных ему равнобедренных треугольника с общими боковыми сторонами, получим правильный пятиугольник.
Второй способ. См. задачу 11126.