5585. В треугольнике ABC
медиана BM=2
, угол ABM
равен \arctg\frac{2}{3}
, угол CBM
равен \arctg\frac{1}{5}
. Найдите стороны AB
, BC
и биссектрису BE
треугольника ABC
.
Ответ. \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{13}}
, \frac{4}{\sqrt{13}}
, \frac{8\sqrt{20+2\sqrt{2}}}{7\sqrt{13}}
.
Указание. См. задачи 2671 и 4021.
Решение. Обозначим \angle ABM=\alpha
, \angle CBM=\gamma
. Заметим, что оба угла острые, так как их тангенсы положительны. Тогда
\tg\alpha=\frac{2}{3},~\cos\alpha\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4}{9}}}=\frac{3}{\sqrt{13}},~\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}},
\tg\gamma=\frac{1}{5},~\cos\gamma\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\gamma}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{25}}}=\frac{5}{\sqrt{26}},~\sin\gamma=\frac{1}{\sqrt{26}},
\sin(\alpha+\gamma)=\sin\alpha\cos\gamma+\sin\gamma\cos\alpha=
=\frac{2}{\sqrt{13}}\cdot\frac{5}{\sqrt{26}}+\frac{1}{\sqrt{26}}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{13}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{26}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Поскольку
\tg(\alpha+\gamma)=\frac{\tg\alpha+\tg\gamma}{1-\tg\alpha\tg\gamma}=\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{5}}{1-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{5}}\gt0,
то \alpha+\gamma\lt90^{\circ}
, значит, \alpha+\gamma=45^{\circ}
и
\cos(\alpha+\gamma)=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2},
а так как \frac{\alpha+\beta}{2}\lt90^{\circ}
, то \cos\frac{\alpha+\gamma}{2}\gt0
. Следовательно,
\cos\frac{\alpha+\gamma}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos(\alpha+\gamma)}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.
На продолжении медианы BM
за точку M
отложим отрезок MD=BM
. Тогда четырёхугольник ABCD
— параллелограмм, значит, CD=AB
, \angle BDC=\angle ABM=\alpha
. Применив теорему синусов к треугольнику BCD
, получим, что
\frac{BC}{\sin\alpha}=\frac{BD}{\sin(180^{\circ}-\alpha-\gamma)}=\frac{BD}{\sin(\alpha+\gamma)},
следовательно,
BC=\frac{BD\sin\alpha}{\sin(\alpha+\gamma)}=\frac{4\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{13}}.
Аналогично
AB=CD=\frac{BD\sin\gamma}{\sin(\alpha+\gamma)}=\frac{4\cdot\frac{1}{\sqrt{26}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{13}}.
По формуле для биссектрисы треугольника (см. задачу 4021)
BE=\frac{AB\cdot BC\cos\frac{\alpha+\gamma}{2}}{AB+BC}=\frac{\frac{4}{\sqrt{13}}\cdot\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{13}}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}{\frac{4}{\sqrt{13}}+\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}=\frac{8\sqrt{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{13}(2\sqrt{2}+1)}=\frac{8\sqrt{20+2\sqrt{2}}}{7\sqrt{13}}.