5598. В неравнобедренном треугольнике ABC
биссектрисы углов A
и B
обратно пропорциональны противолежащим сторонам. Найдите угол при вершине C
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Указание. Высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, к которым они проведены (см. задачу 1967).
Решение. Пусть AA_{1}
и BB_{1}
— биссектрисы треугольника, AA_{2}
и BB_{2}
— его высоты. Высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, к которым они проведены (см. задачу 1967), поэтому из условия задачи следует, что \frac{AA_{1}}{AA_{2}}=\frac{BB_{1}}{BB_{2}}
. Прямоугольные треугольники A_{1}AA_{2}
и B_{1}BB_{2}
подобны, значит, \angle A_{1}AA_{2}=\angle B_{1}BB_{2}
.
Угол между высотой и биссектрисой треугольника, проведёнными из одной вершины, равен модулю полуразности двух других углов треугольника (см. задачу 1106), поэтому
\angle A_{1}AA_{2}=\frac{1}{2}|\angle B-\angle C|,~\angle B_{1}BB_{2}=\frac{1}{2}|\angle A-\angle C|,
значит, |\angle B-\angle C|=|\angle A-\angle C|
, т. е. либо \angle B-\angle C=\angle A-\angle C
, либо \angle B-\angle C=\angle C-\angle A
.
Поскольку треугольник неравнобедренный, равенство \angle A-\angle C=\angle B-\angle C
невозможно, поэтому \angle A-\angle C=\angle C-\angle B
. Следовательно,
\angle C=\frac{\angle A+\angle B}{2}=\frac{180^{\circ}-\angle C}{2}.
Отсюда находим, что \angle C=60^{\circ}
.