5599. а) Пусть P
— точка пересечения прямых AB
и A_{1}B_{1}
. Докажите, что если среди точек A
, B
, A_{1}
, B_{1}
и P
нет совпадающих, то отличная от P
общая точка описанных окружностей треугольников PAA_{1}
и PBB_{1}
является центром поворотной гомотетии, переводящей точку A
в A_{1}
, а точку B
в B_{1}
, причём такая поворотная гомотетия единственна.
б) Докажите, что центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB
в отрезок BC
, является точка пересечения окружности, проходящей через точку A
и касающейся прямой BC
в точке B
, и окружности, проходящей через точку C
и касающейся прямой AB
в точке B
.
Решение. а) Рассмотрим случай, изображённый на рис. 1. Пусть O
— центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB
в отрезок A_{1}B_{1}
. Тогда треугольник A_{1}OB_{1}
подобен треугольнику AOB
, поэтому
\angle PA_{1}O=\angle B_{1}A_{1}O=\angle BAO=\angle PAO.
Значит, точка O
лежит на описанной окружности треугольника PAA_{1}
(см. задачу 12). В то же время, из равенства углов A_{1}OB_{1}
и AOB
и теоремы о внешнем угле треугольника следует, что \angle PB_{1}O=\angle PBO
. Значит, точка O
лежит на описанной окружности треугольника PBB_{1}
. Следовательно, O
— точка пересечения описанных окружностей треугольников PAA_{1}
и PBB_{1}
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для остальных случаев.
б) Рассмотрим случай, изображённый на рис. 2. Пусть O
— центр поворотной гомотетии, переводящей точку A
в точку B
, а точку B
в точку C
. Тогда треугольник AOB
подобен треугольнику BOC
, значит, \angle ABO=\angle BCO
. По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), прямая AB
— касательная к описанной окружности треугольника BOC
. Аналогично прямая BC
— касательная к описанной окружности треугольника AOB
. Следовательно, O
— точка пересечения этих окружностей.
Аналогично для остальных случаев.
Примечание. Разбор случаев можно избежать, если рассматривать ориентированные углы:
\mbox{а)}~\angle(PA,AO)=\angle(PA_{1},A_{1}O),~\angle(PB,BO)=\angle(PB_{1},B_{1}O);
\mbox{б)}~\angle(BA,AO)=\angle(CB,BO),~\angle(AB,BO)=\angle(BC,CO).
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — , № 19.42, с. 393