5599. а) Пусть
P
— точка пересечения прямых
AB
и
A_{1}B_{1}
. Докажите, что если среди точек
A
,
B
,
A_{1}
,
B_{1}
и
P
нет совпадающих, то отличная от
P
общая точка описанных окружностей треугольников
PAA_{1}
и
PBB_{1}
является центром поворотной гомотетии, переводящей точку
A
в
A_{1}
, а точку
B
в
B_{1}
, причём такая поворотная гомотетия единственна.
б) Докажите, что центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок
AB
в отрезок
BC
, является точка пересечения окружности, проходящей через точку
A
и касающейся прямой
BC
в точке
B
, и окружности, проходящей через точку
C
и касающейся прямой
AB
в точке
B
.
Решение. а) Рассмотрим случай, изображённый на рис. 1. Пусть
O
— центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок
AB
в отрезок
A_{1}B_{1}
. Тогда треугольник
A_{1}OB_{1}
подобен треугольнику
AOB
, поэтому
\angle PA_{1}O=\angle B_{1}A_{1}O=\angle BAO=\angle PAO.

Значит, точка
O
лежит на описанной окружности треугольника
PAA_{1}
(см. задачу 12). В то же время, из равенства углов
A_{1}OB_{1}
и
AOB
и теоремы о внешнем угле треугольника следует, что
\angle PB_{1}O=\angle PBO
. Значит, точка
O
лежит на описанной окружности треугольника
PBB_{1}
. Следовательно,
O
— точка пересечения описанных окружностей треугольников
PAA_{1}
и
PBB_{1}
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для остальных случаев.
б) Рассмотрим случай, изображённый на рис. 2. Пусть
O
— центр поворотной гомотетии, переводящей точку
A
в точку
B
, а точку
B
в точку
C
. Тогда треугольник
AOB
подобен треугольнику
BOC
, значит,
\angle ABO=\angle BCO
. По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), прямая
AB
— касательная к описанной окружности треугольника
BOC
. Аналогично прямая
BC
— касательная к описанной окружности треугольника
AOB
. Следовательно,
O
— точка пересечения этих окружностей.
Аналогично для остальных случаев.
Примечание. Разбор случаев можно избежать, если рассматривать ориентированные углы:
а)
\angle(PA,AO)=\angle(PA_{1},A_{1}O),~\angle(PB,BO)=\angle(PB_{1},B_{1}O).

б)
\angle(BA,AO)=\angle(CB,BO),~\angle(AB,BO)=\angle(BC,CO).