5602. Дана трапеция, около которой можно описать окружность и в которую можно вписать окружность. Диагональ образует с основанием угол, косинус которого равен \frac{3}{4}
, а радиус описанной окружности равен 12. Найдите радиус вписанной окружности.
Ответ. 7.
Указание. Проекция диагонали равнобедренной описанной трапеции на основание равна боковой стороне (см. задачи 1930 и 1921).
Решение. Пусть ABCD
— данная трапеция с основаниями AD
и BC
. Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная, AB=CD
. Трапеция описана около окружности, поэтому 2CD=AB+CD=AD+BC
, значит, CD=\frac{AD+BC}{2}
.
Опустим перпендикуляр CH
из вершины C
на большее основание AD
. Тогда по свойству равнобедренной трапеции (см. задачу 1921)
AH=\frac{AD+BC}{2}=CD.
Обозначим \angle CAD=\alpha
. Тогда \cos\alpha=\frac{3}{4}
, а
\sin^{2}\alpha=1-\cos^{2}\alpha=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}.
Пусть R=12
— радиус описанной окружности, r
— радиус вписанной окружности. Окружность, описанная около данной трапеции, — это окружность, описанная около треугольника ACD
. По теореме синусов CD=2R\sin\alpha
. Тогда
2r=CH=AH\tg\alpha=CD\tg\alpha=2R\sin\alpha\cdot\tg\alpha=2R\cdot\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos\alpha}=24\cdot\frac{7}{16}\cdot\frac{4}{3}=14.
Следовательно, r=7
.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2013, июль, вариант 1, № 6