5643. Две окружности касаются внешним образом в точке C
. Прямая касается первой окружности в точке M
, а второй — в точке N
. Прямая NC
пересекает первую окружность в точке K
, прямая MC
пересекает вторую окружность в точке L
.
а) Докажите, что MK
и NL
— диаметры окружностей.
б) Найдите площадь треугольника KCL
, если известно, что высоты треугольников KCM
и NCL
, проведённые из общей вершины C
, равны 4 и 9.
Ответ. 39.
Решение. а) Пусть общая касательная к окружностям, проведённая через точку C
, пересекает MN
в точке P
. Тогда PM=PC=PN
. Медиана PC
треугольника MCN
равна половине стороны MN
, значит, \angle MCN=90^{\circ}
(см. задачу 1188). Вписанный угол MCK
равен 90^{\circ}
, следовательно, MK
— диаметр первой окружности. Аналогично NL
— диаметр второй.
б) Прямые MK
и NL
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой MN
, значит, высоты CA
и CB
треугольников MCK
и NCL
лежат на одной прямой. При этом AMNB
— прямоугольник.
Пусть D
— проекция точки C
на MN
. Тогда CD
— высота прямоугольного треугольника MCN
, проведённая из вершины прямого угла. При этом DM=CA=4
и DN=CB=9
, значит,
CD=\sqrt{DM\cdot DN}=\sqrt{4\cdot9}=6,~S_{\triangle MCN}=\frac{1}{2}MN\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot13\cdot6=39.
Треугольник KCL
равновелик треугольнику MCN
(см. задачу 3017), следовательно,
S_{\triangle KCL}=S_{\triangle MCN}=39.