5647. Площадь четырёхугольника ABCD
равна половине произведения его диагоналей.
а) Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны.
б) В четырёхугольник ABCD
можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен 5 и AB=2BC
.
Ответ. 40.
Решение. а) Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними (см. задачу 3018), т. е. S=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha
, а так как по условию задачи S=\frac{1}{2}AC\cdot BD
, то \sin\alpha=1
. Следовательно, \alpha=90^{\circ}
.
б) См. задачу 443 (при R=5
).