5656. Медианы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке M
. Известно, что AC=6MB_{1}
.
а) Докажите, что треугольник ABC
прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA_{1}
и CC_{1}
, если известно, что AC=12
.
Ответ. 180.
Решение. а) Медианы треугольника делятся точкой их пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины треугольника (рис. 1), поэтому
BB_{1}=3MB_{1}=3\cdot\frac{1}{6}AC=\frac{1}{2}AC.
Медиана BB_{1}
треугольника ABC
равна половине стороны AC
, значит, треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине B
(см. задачу 1188).
б) Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
(рис. 2). По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014) находим, что
AA_{1}^{2}=\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2}),~CC_{1}^{2}=\frac{1}{4}(2b^{2}+2a^{2}-c^{2}),
поэтому
AA_{1}^{2}+CC_{1}^{2}=\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2}+2b^{2}+2a^{2}-c^{2})=
=\frac{1}{4}(a^{2}+c^{2}+4b^{2})=\frac{1}{4}(b^{2}+4b^{2})=\frac{5}{4}b^{2}=\frac{5}{4}\cdot144=180.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2.22.2, с. 21