5676. Точка P
— основание высоты BP
равнобедренного треугольника ABC
, опущенной на боковую сторону AC
. Точки E
и F
— середины основания BC
и боковой стороны AB
соответственно.
а) Докажите, что в четырёхугольник BEPF
можно вписать окружность.
б) Найдите её радиус, если BC=12
и AB=AC=10
.
Ответ. \frac{24}{11}
.
Решение. а) Отрезки PE
и PF
— медианы прямоугольных треугольников BPC
и APB
, проведённые из вершин прямых углов, поэтому PE=\frac{1}{2}BC
и PF=\frac{1}{2}AB
. Значит,
PE+BF=\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AB=BE+PF.
Суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника BEPF
равны, следовательно, в него можно вписать окружность (см. задачу 364).
б) Отрезок AE
— медиана, а значит, и высота равнобедренного треугольника ABC
. По теореме Пифагора
AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8.
Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AE=6\cdot8=48.
Пусть p
— полупериметр четырёхугольника BEPF
, S
— его площадь, r
— радиус вписанной окружности. Тогда
p=BE+BF=6+5=11,
S=S_{\triangle BEP}+S_{\triangle BFP}=\frac{1}{2}S_{\triangle BPC}+\frac{1}{2}S_{\triangle APB}=
=\frac{1}{2}(S_{\triangle BPC}+S_{\triangle APB})=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=24.
Следовательно (см. замечание к задаче 452), r=\frac{S}{p}=\frac{24}{11}
.