5686. Через точку пересечения O
диагоналей трапеции ABCD
проведена прямая, параллельная основаниям AD
и BC
и пересекающая боковые стороны в точках M
и N
.
а) Докажите, что прямая, проходящая через вершину C
и середину основания AD
, делит отрезок MN
в отношении 1:3
.
б) Найдите основания, если известно, что одно из них вдвое больше другого, а MN=16
.
Ответ. 12 и 24.
Решение. а) Треугольник AMO
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{AM}{AB}
, а треугольник DNO
подобен треугольнику DCB
с коэффициентом \frac{DN}{DC}
. По теореме о пропорциональных отрезках (см. задачу 1059) \frac{DN}{DC}=\frac{AM}{AB}
, значит,
OM=BC\cdot\frac{AM}{AB}=BC\cdot\frac{DN}{DC}=ON,
т. е. O
— середина отрезка MN
.
Пусть K
— середина основания AD
, L
— точка пересечения ON
и CK
. Поскольку ON\parallel AD
, точка L
— середина ON
(см. задачу 2607). Следовательно,
\frac{LM}{LN}=\frac{\frac{1}{4}MN}{\frac{1}{2}MN+\frac{1}{4}MN}=\frac{1}{3}.
б) Положим BC=x
, AD=2x
. Тогда
16=MN=2OM=2BC\cdot\frac{AM}{AB}=2BC\cdot\frac{AO}{AC}=
=2BC\cdot\frac{AD}{AD+BC}=2x\cdot\frac{2x}{2x+x}=\frac{4}{3}x.
Отсюда находим, что x=12
. Следовательно,
BC=x=12,~AD=2x=24.