5723. Окружности радиусов r
и R
касаются внешним образом в точке A
. Прямая касается этих окружностей в различных точках B
и C
. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
.
Ответ. \sqrt{rR}
, \frac{\sqrt{rR}(\sqrt{R}+\sqrt{r}-\sqrt{R+r})}{\sqrt{R+r}}
.
Решение. Предположим, что r\lt R
. Опустим перпендикуляр O_{1}F
из центра O_{1}
окружности радиуса r
на радиус O_{2}C
большей окружности, проведённый в точку касания C
. Из прямоугольного треугольника O_{1}FO_{2}
находим, что
O_{1}F=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}F^{2}}=\sqrt{(R+r)^{2}-(R-r)^{2}}=2\sqrt{rR}.
Следовательно, BC=O_{1}F=2\sqrt{rR}
.
Пусть общая касательная к окружностям, проведённая в точке A
, пересекает отрезок BC
в точке M
. Тогда MB=MA=MC
, т. е. медиана треугольника ABC
, проведённая из вершины угла A
, равна половине стороны BC
. Значит, \angle BAC=90^{\circ}
(см. задачу 1188). Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, следовательно, радиус описанной окружности треугольника ABC
равен \sqrt{rR}
.
Продолжим хорду AB
окружности радиуса r
до пересечения со второй окружностью в точке D
. Поскольку \angle CAD=90^{\circ}
, CD
— диаметр второй окружности. Обозначим \angle ACB=\alpha
. Тогда \angle BDC=\alpha
. Из прямоугольного треугольника BCD
находим, что
\tg\alpha=\frac{BC}{CD}=\frac{2\sqrt{rR}}{2R}=\sqrt{\frac{r}{R}}.
Тогда
\cos\alpha=\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R+r}},~\sin\alpha=\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{R+r}}.
Из прямоугольного треугольника ABC
находим, что
AB=BC\sin\alpha=2\sqrt{rR}\cdot\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{R+r}}=\frac{2r\sqrt{R}}{\sqrt{R+r}},
AC=BC\cos\alpha=2\sqrt{rR}\cdot\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R+r}}=\frac{2R\sqrt{r}}{\sqrt{R+r}}.
Известно, что радиус x
окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a
, b
и гипотенузой c
, можно вычислить по формуле x=\frac{a+b-c}{2}
(см. задачу 217). В нашем случае
x=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{\frac{2r\sqrt{R}}{\sqrt{R+r}}+\frac{2R\sqrt{r}}{\sqrt{R+r}}-2\sqrt{rR}}{2}=\frac{r\sqrt{R}}{\sqrt{R+r}}+\frac{R\sqrt{r}}{\sqrt{R+r}}-\sqrt{rR}=
=\frac{\sqrt{rR}(\sqrt{R}+\sqrt{r}-\sqrt{R+r})}{\sqrt{R+r}}.