5811. Дан треугольник ABC
, в котором AB=BC=5
, медиана AD=\frac{\sqrt{97}}{2}
. На биссектрисе CE
выбрана точка F
такая, что CF=\frac{1}{5}CE
. Через точку F
проведена прямая l
, параллельная BC
. Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC
, до прямой l
.
Ответ. \frac{633}{440}
Решение. Треугольник ABC
равнобедренный, поэтому центр его описанной окружности лежит на высоте BH
. По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014) 4AD^{2}=2AB^{2}+2AC^{2}-BC^{2}
, или 97=50+2AC^{2}-25
, откуда находим, что AC=6
. Тогда AH=CH=3
.
Обозначим \angle CAB=\angle ACB=\alpha
. Тогда
\cos\alpha=\frac{AH}{AB}=\frac{3}{5},~\sin\alpha=\frac{4}{5},~\ctg\alpha=\frac{3}{4},~\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}},~\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
По формуле для биссектрисы треугольника (см. задачу 4021)
CE=\frac{2AC\cdot BC\cos\frac{\alpha}{2}}{AC+BC}=\frac{2\cdot6\cdot5\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}}{5+6}=\frac{120}{11\sqrt{5}}.
Тогда CF=\frac{1}{5}CE=\frac{24}{11\sqrt{5}}
.
Проекция центра O
описанной окружности треугольника ABC
на сторону BC
— середина D
стороны BC
. Из прямоугольного треугольника ODB
находим, что
OD=BD\ctg\angle BOD=BD\ctg\angle ACB=\frac{1}{2}BC\ctg\alpha=\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{15}{8}.
Пусть N
— проекция точки F
на сторону BC
, а K
— точка пересечения прямых l
и OD
. Из прямоугольного треугольника CNF
находим, что
FN=CF\sin\angle BCE=CF\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{24}{11\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{24}{55}.
Следовательно,
OK=OD-KD=OD-FN=\frac{15}{8}-\frac{24}{55}=\frac{633}{440}.