5899. Точка E
— середина гипотенузы ML
прямоугольного треугольника KLM
с углом 30^{\circ}
при вершине M
. Окружность, вписанная в треугольник KME
касается катета MK
в точке A
, а окружность, вписанная в треугольник KLE
касается катета KL
в точке B
.
а) Докажите, что KE=AB
.
б) В каком отношении точка касания большей из этих окружностей делит гипотенузу?
Ответ. 1:3
, считая от точки L
.
Решение. а) Отрезок KE
— медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, поэтому KE=EM=EL
. Значит, треугольники KEM
и KEL
равнобедренный. Вписанные в них окружности касаются оснований KM
и KL
в серединах A
и B
, значит, AB
— средняя линия треугольника KLM
. Следовательно,
AB=\frac{1}{2}ML=KE.
б) Поскольку KM=KL\sqrt{3}\gt KL
, периметр треугольника KME
больше периметра треугольника KLE
, а так как площади этих треугольников равны (см. задачу 3001), то радиус второй окружности больше радиуса первой (радиус окружности, вписанной в треугольник, равен его площади, делённой на полупериметр, см. задачу 452). Таким образом, нужно определить, в каком отношении точка C
касания окружности, вписанной в треугольник KEL
, делит отрезок ML
.
Поскольку KE=EL
и \angle KLE=60^{\circ}
, треугольник KEL
равносторонний, поэтому C
— середина LE
. Следовательно,
\frac{LC}{CM}=\frac{\frac{1}{2}EL}{CE+ME}=\frac{\frac{1}{2}EL}{\frac{1}{2}EL+EL}=\frac{\frac{1}{2}EL}{\frac{3}{2}EL}=\frac{1}{3}.