5958. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
выбраны соответственно точки C_{1}
и A_{1}
, отличные от вершин. Пусть K
— середина A_{1}C_{1}
, а I
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Оказалось, что четырёхугольник A_{1}BC_{1}I
вписанный. Докажите, что угол AKC
тупой.
Решение. Пусть M
— середина AC
, а A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами BC
, AC
и AB
.
\angle A_{1}IC_{1}=180^{\circ}-\angle B=\angle A_{2}IC_{2}.
Отсюда следует, что прямоугольные треугольники A_{1}A_{2}I
и C_{1}C_{2}I
равны (по катету и прилежащему острому углу), причём один из них находится внутри четырёхугольника BA_{2}IC_{2}
, а второй — снаружи. Отсюда
AC_{1}+CA_{1}=AC_{2}+CA_{2}=AB_{2}+CB_{2}=AC.
Построим параллелограммы AC_{1}KD
и CA_{1}KE
. Тогда ADCE
— тоже параллелограмм (возможно, вырожденный) и M
— его центр, т. е. середина отрезка DE
. Как известно, медиана меньше полусуммы соответствующих сторон (см. задачу 3504), т. е.
KM\lt\frac{1}{2}(KD+KE)=\frac{1}{2}(AC_{1}+CA_{1})=\frac{1}{2}AC.
Это значит, что точка K
лежит внутри окружности с диаметром AC
, поэтому угол AKC
— тупой (см. задачу 1772).
Источник: Турнир городов. — 2012-13, XXXIV, сложный вариант, 21 октября 2012 г., 10-11 классы