5977. Окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
пересекаются в точках A
и B
. Пусть K_{1}
и K_{2}
— точки на \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно такие, что K_{1}A
касается \omega_{2}
, а K_{2}A
касается \omega_{1}
. Описанная окружность треугольника K_{1}BK_{2}
пересекает вторично прямые AK_{1}
и AK_{2}
в точках L_{1}
и L_{2}
соответственно. Докажите, что точки L_{1}
и L_{2}
равноудалены от прямой AB
.
Решение. Обозначим \angle K_{1}AB=\angle AK_{2}B=\alpha
, \angle K_{2}AB=\angle AK_{1}B=\beta
(см. задачу 87). Треугольники AK_{1}B
и K_{2}AB
подобны по двум углам, значит,
\frac{AK_{2}}{AK_{1}}=\frac{AB}{BK_{2}}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}
(теорема синусов в треугольнике ABK_{2}
).
С другой стороны, AK_{1}\cdot AL_{1}=AL_{2}\cdot AK_{2}
(см. задачу 2636), откуда
\frac{AL_{1}}{AL_{2}}=\frac{AK_{2}}{AK_{1}}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},~AL_{1}\sin\alpha=AL_{2}\sin\beta.
Пусть H_{1}
и H_{2}
— основания перпендикуляров, опущенных из точек L_{1}
и L_{2}
на прямую AB
. Из прямоугольных треугольников AL_{1}H_{1}
и AL_{2}H_{2}
получаем, что
L_{1}H=AL_{1}\sin\alpha,~L_{2}H_{2}=AL_{2}\sin\beta.
Следовательно, L_{1}H_{1}=L_{2}H_{2}
.