5989. Серединный перпендикуляр к стороне AC
неравнобедренного остроугольного треугольника ABC
пересекает прямые AB
и BC
в точках B_{1}
и B_{2}
соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне AB
пересекает прямые AC
и BC
в точках C_{1}
и C_{2}
соответственно. Окружности, описанные около треугольников BB_{1}B_{2}
и CC_{1}C_{2}
пересекаются в точках P
и Q
. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника ABC
, лежит на прямой PQ
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Покажем сначала, что прямая OB
касается описанной окружности \omega_{b}
треугольника BB_{1}B_{2}
.
Пусть AB\lt BC
. Тогда точка B_{2}
лежит на стороне BC
, а B_{1}
— на продолжении стороны AB
за точку B
. Имеем
\angle B_{2}B_{1}A=\angle OB_{1}A=90^{\circ}-\angle A.
С другой стороны,
\angle B_{2}BO=\angle CBO=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BOC=90^{\circ}-\angle A.
Таким образом, вписанный угол B_{2}B_{1}B
равен углу между секущей BB_{2}
и прямой OB
. Следовательно, OB
касается \omega_{b}
(см. задачу 144).
Если AB\gt BC
, то проходит то же рассуждение с заменой точки A
на C
и наоборот.
Аналогично прямая OC
касается описанной окружности \omega_{c}
треугольника CC_{1}C_{2}
. Допустим, что прямая OP
пересекает \omega_{b}
и \omega_{c}
в различных точках Q_{b}
и Q_{c}
. Тогда по теореме о касательной и секущей
OQ_{b}\cdot OP=OB^{2}=OC^{2}=OQ_{c}\cdot OP,
откуда OQ_{b}=OQ_{c}
. Поскольку точки Q_{b}
и Q_{c}
лежат по ту же сторону от O
, что и P
, то они совпадают между собой, а значит, и с Q
. Следовательно, точка O
лежит на прямой PQ
.
Примечание. 1. После того, как мы установили, что OB
и OC
— касательные, можно рассуждать короче: OB=OC
, поэтому точка O
лежит на радикальной оси окружностей \omega_{b}
и \omega_{c}
, а это и есть прямая PQ
(см. задачу 6391).
Это утверждение верно и для случая, когда \omega_{b}
и \omega_{c}
не пересекаются.
2. Нетрудно показать, что на этой радикальной оси лежит и вершина A
.
3. Для неостроугольного треугольника утверждение задачи также верно.