5991. К двум непересекающимся окружностям \omega_{1}
и \omega_{2}
проведены три общие касательные — две внешние, a
и b
, и одна внутренняя, c
. Прямые a
, b
и c
касаются окружности \omega_{1}
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно, а окружности \omega_{2}
— в точках A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
равно отношению радиусов окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
.
Решение. Пусть r_{1}
и r_{2}
— радиусы окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно, а O_{1}
и O_{2}
— их центры. Если r_{1}=r_{2}
, то треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
симметричны относительно точки пересечения прямых O_{1}O_{2}
и C_{1}C_{2}
, и их площади равны.
Пусть r_{1}\lt r_{2}
. Тогда лучи A_{2}A_{1}
и B_{2}B_{1}
пересекаются в некоторой точке S
(рис. 1). Гомотетия с центром S
и коэффициентом \frac{r_{1}}{r_{2}}
переводит \omega_{2}
в \omega_{1}
, A_{2}
— в A_{1}
, B_{2}
— в B_{1}
, следовательно, \frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}
. Осталось доказать, что высоты h_{1}
и h_{2}
треугольников A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
, проведённые соответственно из вершин C_{1}
и C_{2}
, равны.
Первый способ. Обозначим через P
и Q
точки пересечения прямой c
с прямыми a
и b
, а проекции точек B_{1}
, C_{1}
, B_{2}
, C_{2}
, P
и Q
на линию центров O_{1}O_{2}
через B_{1}'
, C_{1}'
, B_{2}'
, C_{2}'
, P'
и Q'
соответственно. Тогда
PA_{1}=PC_{1}=QB_{2}=QC_{2}
(см. задачу 4805).
Пусть прямая c
пересекает O_{1}O_{2}
в точке M
. Положим
\alpha=\angle PSM=\angle QSM,~\beta=\angle SMP=\angle O_{2}MQ.
Имеем
h_{1}=B_{1}'C_{1}'=B_{1}'P'+P'C_{1}'=A_{1}P\cos\alpha+PC_{1}\cos\beta=
=B_{2}Q\cos\alpha+QC_{2}\cos\beta=B_{2}'Q'+Q'C_{2}'=h_{2}.
Второй способ. Середина A_{0}
отрезка A_{1}A_{2}
лежит на радикальной оси l
окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
(рис. 2), поскольку касательные, проведённые из A_{0}
к этим окружностям, равны. По той же причине на этой радикальной оси лежат середины B_{0}
и C_{0}
отрезков B_{1}B_{2}
и C_{1}C_{2}
. Поэтому точки C_{1}
и C_{2}
равноудалены от l
. Радикальная ось перпендикулярна линии центров O_{1}O_{2}
(см. задачу 6391), поэтому прямые A_{1}B_{1}
и A_{2}B_{2}
тоже равноудалены от l
. Следовательно, расстояние h_{1}
от C_{1}
до A_{1}B_{1}
равно расстоянию h_{2}
от C_{2}
до A_{2}B_{2}
.