6019. Вокруг остроугольного треугольника ABC
описана окружность. Пусть X
— точка внутри окружности, K
и L
— точки пересечения окружности и прямых BX
и CX
соответственно. Прямая LK
пересекает прямую AB
в точке E
, а прямую AC
— в точке F
. Найдите геометрическое место таких точек X
, что окружности, описанные около треугольников AFK
и AEL
, касаются.
Ответ. Дуга окружности, проходящей через B
, C
и центр O
описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть окружности касаются. Обозначим углы, образованные их общей касательной, проходящей через точку A
, с прямыми AB
и AC
, через \alpha
и \beta
соответственно. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что \angle ALE=\alpha
и \angle AKF=\beta
, а из теоремы о вписанных углах —
\angle ABX=\angle ABK=\angle ALK=\angle ALE=\alpha,
\angle ACX=\angle ACL=\angle AKL=\angle AKF=\beta.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BXC=\angle BKC+\angle KCL=\angle BAC+\angle ACK+\angle ACL=
=\angle BAC+\angle ALK+\angle ACL=(\alpha+\beta)+(\alpha+\beta)=2(\alpha+\beta)=2\angle BAC.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Тогда центральный угол BOC
вдвое больше вписанного угла BAC
, значит, \angle BOC=2\angle BAC=\angle BXC
. Таким образом, из каждой точки X
, удовлетворяющей условию задачи, сторона BC
видна под углом, равным 2\angle BAC
. Следовательно, точка X
лежит на дуге BOC
окружности, описанной около треугольника BOC
(см. задачу 12).
Аналогично докажем, что любая точка этой дуги удовлетворяет условию задачи.
Автор: Плотников М. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2013, IX, заочный тур, № 8, 8-9 классы