6021. Пусть A_{1}
и C_{1}
— точки касания вписанной окружности со сторонами BC
и AB
соответственно, а A'
и C'
— точки касания вневписанной окружности треугольника, вписанной в угол B
, с продолжениями сторон BC
и AB
соответственно. Докажите, что ортоцентр H
треугольника ABC
лежит на A_{1}C_{1}
тогда и только тогда, когда прямые A'C_{1}
и BA
перпендикулярны.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle ABC=\beta
, p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
BA'=p,~CA'=BA'-BC=p-a,~CA_{1}=p-c,~BA_{1}=BC_{1}=p-b
(см. задачи 219 и 4805).
Условие A'C_{1}\perp BA
равносильно равенству BC_{1}=BA'\cos\beta
, или p-b=p\cos\beta
.
Пусть высота AD
треугольника ABC
пересекает отрезок A_{1}C_{1}
в точке P
, а высота CE
— в точке Q
. Тогда по теореме Менелая, применённой к треугольнику A_{1}BC_{1}
и прямым AD
и CE
,
1=\frac{A_{1}P}{PC_{1}}\cdot\frac{C_{1}A}{AB}\cdot\frac{BD}{DA_{1}}=\frac{A_{1}P}{PC_{1}}\cdot\frac{p-a}{c}\cdot\frac{c\cos\beta}{p-b-c\cos\beta}=\frac{A_{1}P}{PC_{1}}\cdot\frac{(p-a)\cos\beta}{p-b-c\cos\beta},~
1=\frac{C_{1}Q}{QA_{1}}\cdot\frac{A_{1}C}{BC}\cdot\frac{BE}{EC_{1}}=\frac{C_{1}Q}{QA_{1}}\cdot\frac{p-c}{a}\cdot\frac{a\cos\beta}{p-b-a\cos\beta}=\frac{C_{1}Q}{QA_{1}}\cdot\frac{(p-c)\cos\beta}{p-b-a\cos\beta}.
Отсюда находим, что
\frac{A_{1}P}{PC_{1}}=\frac{p-b-c\cos\beta}{(p-a)\cos\beta},~\frac{A_{1}Q}{QC_{1}}=\frac{(p-c)\cos\beta}{p-b-a\cos\beta}.
Поэтому условие принадлежности ортоцентра треугольника ABC
отрезку A_1C_1
(равносильное совпадению точек P
и Q
) равносильно равенству
\frac{p-b-c\cos\beta}{(p-a)\cos\beta}=\frac{(p-c)\cos\beta}{p-b-a\cos\beta}.
Преобразуем его:
(p-b-c\cos\beta)(p-b-a\cos\beta)=(p-a)(p-c)\cos^2\beta,~
(p-b)^2-(a+c)(p-b)\cos\beta+ac\cos^2\beta=p^2\cos^2\beta-(a+c)p\cos^2\beta+ac\cos^2\beta,~
(p-b)^2-(2p-b)(p-b)\cos\beta=p^2\cos^2\beta-(2p-b)p\cos^2\beta,~
p^2(1-2\cos\beta-\cos^2\beta+2\cos^2\beta)-pb(2-3\cos\beta+\cos^2\beta)+b^2(1-\cos\beta)=0,
p^2(1-\cos\beta)^2-pb(1-\cos\beta)(2-\cos\beta)+b^2(1-\cos\beta)=0,~
(1-\cos\beta)(p^2(1-\cos\beta)-pb(1-\cos\beta)-pb+b^2)=0,~(1-\cos\beta)(p-b)(p-p\cos\beta-b)=0.
Поскольку \cos\beta\ne1
и p\ne b
, приходим к выводу, что условие принадлежности ортоцентра треугольника ABC
отрезку A_1C_1
равносильно тому же равенству p-b=p\cos\beta
.
Следовательно, ортоцентр треугольника ABC
лежит на отрезке A_1C_1
тогда и только тогда, когда A'C_1\perp BA
, что и требовалось.