6026. Через вершины A
и B
треугольника ABC
проведена окружность, касающаяся прямой BC
, а через вершины B
и C
— другая окружность, касающаяся прямой AB
. Продолжение общей хорды BD
этих окружностей пересекает отрезок AC
в точке E
, а продолжение хорды AD
одной окружности пересекает другую окружность в точке F
.
а) Докажите, что треугольники ABC
и ABF
равновелики.
б) Найдите отношение AE:EC
, если AB=5
и BC=9
.
Ответ. 25:81
.
Указание. а) Применив теоремы о вписанных углах и об угле между касательной и хордой, докажите, что CF\parallel AB
.
б) Докажите, что треугольники ABD
и BCD
подобны, а DE
— биссектриса треугольника ADC
.
Решение. а) Из теорем о вписанных углах и об угле между касательной и хордой (см. задачи 1 и 87) следует, что
\angle AFC=\angle DFC=\angle DBC=\angle BAD=\angle BAF,
значит, CF\parallel AB
. Поэтому высоты треугольников ABC
и ABF
, опущенные на общее основание AB
, равны. Следовательно, равны и площади этих треугольников.
б) Обозначим
\angle BCD=\angle ABD=\alpha,~\angle BAD=\angle CBD=\beta.
Треугольники ABD
и BCD
подобны по двум углам, поэтому
\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{9},~\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{9}.
Отсюда получаем, что AD=\frac{5}{9}BD
и CD=\frac{9}{5}BD
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ADE=\alpha+\beta,~\angle CDE=\alpha+\beta,
значит, DE
— биссектриса треугольника ADC
. Следовательно, по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{CD}=\frac{\frac{5}{9}BD}{\frac{9}{5}BD}=\frac{25}{81}.